Muziektheorie – (3) – komma’s wegneuken

In deel 2 hebben we 16 toonafstanden benoemd, die we verkregen door simpele verhoudingen opeen te stapelen of van elkaar af te trekken. Daarmee is echter nog niet verklaard waarom er 12 verschillende toonafstanden zitten in ons notensysteem, waarom ze juist die naam dragen en waarom er 7 belangrijker zijn dan de andere 5.

Toongebieden en komma’s

Wel, ik weet niet wat er eerst was: de drang om het octaaf in 12 delen op te splitsen, of het identificeren van tonen die heel dicht bij elkaar liggen. Historisch is het aannemelijk dat men het gelijkluidend interval van het octaaf wilde opsplitsen en de mens maakt graag veel verschillende combinaties, die het getal 12 hem levert – zie ook onze 24 uren met 60 minuten en 60 seconden. Akoestisch is het echter evenzeer aantoonbaar dat een aantal tonen dicht bij elkaar liggen, anders gezegd, ze vormen een “toongebied” dat wij oppervlakkig ervaren als één, hoewel het geoefende oor het verschil kan horen en er sterk hoorbare zwevingen optreden als ze samen worden gespeeld. Tussen de tonen in één toongebied liggen heel kleine afstanden, die we “komma’s” noemen. Die komma’s zijn niet alle dezelfde, want de verhoudingen verschillen op hun beurt, en elke komma heeft zijn naam.

syntonisch komma
syntonisch komma
  • We beginnen bij de “kleine hele secunde” en de “grote hele secunde”: 9/8 / 10/9 = 81/80. Dit is de “syntonische komma“. Hij ligt erg dicht bij 1. De twee verhoudingen 9/8 en 10/9 liggen in één toongebied – ze zijn “syntonisch” – en daarom heten ze beide “hele secunde” of “grote secunde”. In klassieke muziektheorie hanteert men dezelfde naam voor deze twee afstanden, wat ik altijd als behoorlijk verwarrend ervoer.
  • Symmetrisch tegenover de “hele secunde” ligt de “kleine septiem“. Die heeft ook een kleine en grote variant, die respectievelijk een omkering zijn van de grote en kleine hele secunde, en dus ook een syntonische komma schelen.
  • Dan gaan we naar de “halve secunde” die een “chromatische” en een “diatonische” variant heeft. Die schelen 16/15 / 25/24 = 128/125, wat een “kleine diësis” heet. Binnen de wereld der secunden kan het heet oplopen:
    • Een “kleine hele secunde” is de opeenstapeling van een diatonische en een chromatische halve secunde: 10/9 = 16/15 * 25/24
    • Tussen een “grote hele secunde” en een “diatonische halve secunde” zit 9/8 / 16/15 = 135/128, wat een “klein limma” heet.
    • Tussen een “grote hele secunde” en een “chromatische halve secunde” zit 9/8 / 25/24 = 27/25, een “groot limma“.
    • Tussen de “diatonische kleine secunde” en het “klein limma” zit 16/15 / 135/128 = 2048/2025, een “diaschisma”.
  • Een verrassend duo is de “overmatige kwint” en de “kleine sext” die met 8/5 / 25/16 = 128/125 eveneens een kleine diësis schelen.
liggen in hetzelfde toongebied

Alle andere opeenvolgende tonen in bovenstaande rij van 16 hebben grotere toonafstanden en worden niet langer beschouwd te liggen in één toongebied:

  • Verschillen een chromatische halve secunde (25/24):
    • de priem en de chromatische halve secunde
    • de diatonische halve secunde en de kleine hele toon
    • de kleine  en grote terts
    • de kwart en de overmatige kwart
    • de kwint en de overmatige kwint
    • de kleine en grote sext
    • de (grote) kleine septiem en de grote septiem
  • Verschillen een diatonische halve secunde (16/15):
    • de priem en de diatonische secunde
    • de grote hele secunde en de kleine terts
    • de grote terts en de kwart
    • de kwint en de kleine sext (hoewel strikt genomen niet opeenvolgend)
    • de grote sext en de kleine kleine septiem
    • de grote septiem en het octaaf
  • Verschillen een groot limma (27/25):
    • de overmatige kwart en de kwint

De Latijnse namen verklaard

Nu pas begrijpen we waarom sommige opeenvolgende noten een gelijkaardige naam dragen: hun verschil is aan de kleine kant. Ze liggen niet meer in hetzelfde toongebied, maar hebben toch eenzelfde kleur (chroom). Ze zijn chromatisch en schelen een chromatische halve secunde. Andere hebben een verschillende naam en klinken wezenlijk verschillend (dia-tonisch): ze schelen een diatonische halve secunde. De overmatige kwart en de kwint hebben zelfs een nog grotere afstand.

op een chromatische mondharmonica kan je dankzij de schuiftoets alle chromatische afstanden spelen

Als we dan uiteindelijk alleen degene overhouden die een diatonische halve secunde of een hele toon schelen en alle chromatische schakeringen of kommaverschillen uitvlakken, krijgen we:

  1. de priem
  2. de secunde
  3. de terts
  4. de kwart
  5. de kwint
  6. de sext
  7. de septiem
  8. de octaaf

Nu begrijpen we – eindelijk! – waar die rare Latijnse namen vandaan komen. In het interval tussen 2 tonen met frequentieverhouding 2/1 bevinden zich 7 relatief grote toonafstanden. De uiteinden daarvan dragen Latijnse rangtelwoorden. Tussenin bevinden zich 5 chromatische varianten. Het geheim van de witte en zwarte toetsen is ontrafeld!

Dis en Ces en tutti quanti

Laat ons nu uitgaan van grondtoon Do, ook “C” genoteerd en telkens chromatisch en diatonisch verhogen of chromatisch te verlagen. Dan krijgen we volgende 22 noten (inclusief de priem). De nieuwe tonen geef ik nog even hun breuk mee =

  1. de priem = do of C
  2. de chromatische halve toon = do-kruis (C#) of do-verhoogd (Cis)
  3. de diatonische halve toon = re-mol (Db) of re-verlaagd (Des)
  4. de grote of kleine hele toon = re of D
  5. de vergrote hele toon = D# of Dis = 9/8 * 25/24 = 75/72
  6. de kleine terts = Eb of E(e)s
  7. de grote terts = E
  8. de verminderde kwart = Fb of Fes = 4/3 * 24/25 = 32/25
  9. de overmatige terts = E# of Eis = 5/4 * 25/24 = 125/96
  10. de kwart = F
  11. de overmatige kwart = F# of Fis
  12. de verminderde kwint = Gb of Ges = 4/3*16/15 = 64/45
  13. de kwint = G
  14. de overmatige kwint = G# of Gis
  15. de kleine sext = Ab of As
  16. de grote sext = A
  17. de overmatige sext = A# of Ais
  18. de (grote of kleine) kleine septiem = Bb of Bes
  19. de grote septiem = B
  20. het verminderde octaaf = Cb of Ces = 2/1 * 24/25 = 48/25
  21. de overmatige septiem = B# of Bis = 15/8 * 25/24 = 125/64
  22. het octaaf = C’

 

Wie tot hier gevolgd heeft, merkt dat er één en ander bij de haren gesleurd is: de kleine hele toon en de kleine kleine septiem doen niet meer afzonderlijk mee, en waar opeenvolgende hoofdtonen een diatonische halve toon schelen, springen de chromatische verlagingen en de verhogingen over elkaar heen. We willen nu definitief de noten in hetzelfde toongebied éénmaken, maar …

Wa’is ‘et problem?

Er rest ons echter nog een probleem: muziek bestaat uit meer dan één octaaf. Binnen het octaaf kunnen we nog doen alsof de syntonische komma niet bestaat, kwestie van een handige verzameling noten te hanteren voor onze muziektheorie. De natuur laat zich echter niet zomaar dwingen in de menselijke voorkeur voor eenvoud. Als we enkele octaven opeenstapelen, stapelen ook de syntonische komma’s zich op en hun bestaan wordt pijnlijk hoorbaar: een kwint op een kwint geeft een hoge grote secunde, ja meneer: 3/2 * 3/2 = 9/8 * 2/1. Maar drie gestapelde grote tertsen geven 125/64 en dat is een kleine diësis lager dan een octaaf. En zo kunnen we nog wel enkele combinaties verzinnen die wiskundig verklaren wat onze voorvaderen al wisten: rijke harmonieën, met grote tertsen en kwinten, gestapeld over meerdere octaven klinken al gauw dissonant.

kinderen weten wanneer iets vals klinkt

De volledige reeks ziet er zo uit:

  1. Muziektheorie – (1) – inleiding
  2. Muziektheorie – (2) – simpele verhoudingen
  3. Muziektheorie – (3) – komma’s wegneuken (dit artikel)
  4. Muziektheorie – (4) – gij met uwe Pythagoras altijd
  5. Muziektheorie – (5) – heb je al gekeeld van de zeven de zeven

 

 

Een gedachte over “Muziektheorie – (3) – komma’s wegneuken

  1. Beste Dieter,
    1. Op een echt pianoklavier zitten (4 van de 5) zwarte toetsen NIET midden tussen twee witte toetsen. Waarom wijk je daarvan af in de toetsen-figuur?
    2. In regel 8 onder “Dis en Ces en….” staat onjuist 75/72, moet zijn 75/64.
    3. Na het zevende zwarte blokje staat “diatonische kleine secunde” voor 16/15 = “diatonische halve secunde”. Verwarrend, want ‘klein’ betekent niet ‘half’.
    Groet, Hessel Pot

Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Verplichte velden zijn gemarkeerd met *