Muziektheorie – (2) – simpele verhoudingen

Het is met muziek zoals met humor en alle andere kunstvormen: ons gevoel voor schoonheid berust op een gelijktijdige drang naar herkenning en vervreemding. Volmaakte symmetrie vinden we saai of bezwerend, totale chaos brengt ons dan weer in verwarring of gaat aan ons voorbij. Tussen symmetrie en chaos zit beheerste asymmetrie en dat vinden we mooi.

https://www.youtube.com/watch?v=DFZAws4wjQM

Onze zintuigen zijn dus afgesteld op het waarnemen van kleine getallen en simpele verhoudingen. Ons oor hoort geluiden en ervaart die als een “toon” wanneer de luchtverplaatsing die het geluid bepaalt een regelmatige trilling veroorzaakt in de ons omringende ruimte. Elke toon heeft dus een eigen “trillingsfrequentie”. De ruimere fysica van de akoestiek zullen we hier verder achter wege laten, want we zijn geïnteresseerd in de onderlinge verhoudingen van tonen. We spreken over “de afstand tussen tweee tonen”, t2 – t1, en bedoelen de “verhouding van hun frequentie”  f(t2)/f(t1). Met “de opeenstapeling van twee tonen”, t1 + t2, bedoelen we het product van hun frequentie  f(t1)*f(t2)

De bouwstenen

De eerste  en simpelste toonafstand krijgen we door een verhouding 2/1. De ene toon klinkt 2x zo hoog als de andere. Die noemen we een “octaaf” maar ik zou graag die benaming even uitstellen, omdat “octo” verwijst naar 8 en ik de vraag naar het waarom van die naam nu nog niet ga beantwoorden. Ik wil namelijk beginnen als een primitieve mens, die twee tonen hoort met verhouding 2/1 en die bijlange niet de neiging heeft die toonafstand een octaaf te noemen. Als primitieve mens hoor ik twee verschillende tonen die toch hetzelfde klinken. Mijn mond valt open van zulke herkenbare schoonheid.

Volmaakte schoonheid

De volgende simpele verhoudingen zijn 3/1 en 3/2. Als ik mijn oorspronkelijke toon hiermee vermenigvuldig, dan krijg ik twee nieuwe tonen: één die 3 keer zo hoog klinkt en een die 3/2 zo hoog klinkt. Die hebben met elkaar een verhouding van 2/1 en klinken dus hetzelfde (maar verschillend) in onze oren. Vanaf hier ben ik alleen maar geïnteresseerd in verhoudingen die tussen 1 en 2 liggen, want al wat hoger dan 2 ligt, moet ik door 2 delen en dan kom ik bij een lagere toon uit die hetzelfde klinkt.

Beheerste asymmetrie

De eerstvolgende simpele breuk tussen 1 en 2 is 4/3. Maar die kan ik maken met de vorige twee: 4/3 = 2 / (3/2). Deze toonafstand is dus die tussen 3/2 en 2/1. Ik ga verder en kom terecht bij 5/3 en 5/4. Dit zijn verhoudingen die ik niet kan uitdrukken in functie van 2/1 of 3/2. Dit is dus een nieuwe toon. 5/3 is dan weer een combinatie van de vorige, want 5/3 = 5/4 * 4/3.

Onderlinge afstanden en opeenstapelingen

Met die drie tonen kunnen we tal van opeenstapelingen maken en onderlinge afstanden bepalen en daarmee het spectrum tussen 1 en 2 opvullen. Echt nieuwe tonen vinden we pas als we na 2, 3 en 5 het volgende priemgetal in onze oefening betrekken: 7. Maar ons oor vindt het nu welletjes geweest. Verhoudingen met 7, 11 of godbetert 13 klinken al lang niet zo herkenbaar meer in de oren. Als je wiskundigen laat doen, verliezen ze zich in de getaltheorie en we waren bezig met het bepalen van natuurlijke tonen. De 7 krijgt later nog wat aandacht.

https://www.youtube.com/watch?v=xUHQ2ybTejU

Eerst zetten we de bouwstenen en de reeds gevonden combinaties van onze toonafstanden op volgorde van grootte: 1/1, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 2/1

Als we hun verhouding tot het octaaf berekenen, krijgen we twee extra verhoudingen:

  • 8/5 = 2/1 : 5/4
  • 6/5 = 2/1 : 5/3

Dit geeft een nieuwe reeks: 1/1, 6/5,  5/4, 4/3, 3/2, 8/5, 5/3, 2/1

Dan kijken we naar de onderlinge afstanden die iets nieuws opleveren:

  • 5/4 : 6/5 = 25/24
  • 4/3 : 5/4 = 16/15
  • 3/2 : 4/3 = 9/8
  • 5/3 : 3/2 = 10/9
  • en hun afstanden tot 2/1, zo die iets nieuws opleveren
  • 2/1 / 16/15 = 15/8
  • 2/1 / 9/8 = 16/9
  • 2/1 / 10/9 = 9/5

En tenslotte kijken we nog naar de onderlinge opeenstapelingen die iets nieuws opleveren:

  • 5/4 * 5/4 = 25/16
  • 5/3 * 5/3 = 25/9, wat :2 herleid wordt naar 25/18
  • 6/5 * 6/5 = 36/25
  • 8/5 * 8/5 = 64/25, wat :2 herleid wordt naar 32/25

Die laatste twee laten we even buiten beschouwing.

Namen noemen

Dit geeft ons in totaal 16 tonen en daarmee hebben we lang genoeg gespeeld. Het is namelijk tijd om terug wat herkenbaarheid te creëren voor de aspirant-muziektheoreticus in u, die nagelbijtend wacht op de kwint, de terts, de kwart, de secunde, de sext en de septiem. Hier komen ze alle zestien, mooi op een rijtje met hun benaming zoals je ze overal in de klassieke muziektheorie kan terugvinden:

  • de priem = 1/1
  • de chromatische halve secunde = 25/24
  • de diatonische halve secunde = 16/15
  • de kleine hele secunde = 10/9
  • de grote hele secunde = 9/8
  • de kleine terts = 6/5
  • de grote terts =  5/4
  • de kwart  = 4/3
  • de overmatige kwart = 25/18
  • de kwint = 3/2
  • de overmatige kwint = 25/16
  • de kleine sext = 8/5
  • de grote sext = 5/3
  • de kleine kleine septiem = 16/9
  • de (grote) kleine septiem = 9/5
  • de grote septiem = 15/8
  • de octaaf = 2/1
copyright kippa

Et voilà! Daar zijn ze bijna allemaal, de ronkende mysterieuze namen uit de klassieke muziektheorie, zuiver door onderlinge toonafstanden en opeenstapelingen te berekenen en eventueel te verlagen met een octaaf. Maar waarom zijn er  dan in ons notensysteem geen 16 maar 13 (priem en octaaf inbegrepen) namen voor toonafstanden en waar komen die namen vandaan? Dat is voor het volgende deel!

De volledige reeks ziet er zo uit:

  1. Muziektheorie – (1) – inleiding
  2. Muziektheorie – (2) – simpele verhoudingen (dit artikel)
  3. Muziektheorie – (3) – komma’s wegneuken
  4. Muziektheorie – (4) – gij met uwe Pythagoras altijd
  5. Muziektheorie – (5) – heb je al gekeeld van de zeven de zeven


Geef een reactie

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd. Vereiste velden zijn gemarkeerd met *

For security, use of Google's reCAPTCHA service is required which is subject to the Google Privacy Policy and Terms of Use.

I agree to these terms.