Muziektheorie – (5) – heb je al gekeeld van de zeven de zeven

Nu we de Pythagoreïsche komma hebben weggewerkt over onze 12 noten, via de gelijkzwevende stemming, en aldus de kwintencirkel hebben gesloten, zijn de verhoogde en verlaagde noten functioneel elkaars gelijke geworden. Onze gitaar kunnen we ten allen tijde stemmen met een kwartstapeling (E-A, A-D, D-G, B-E) met een grote terts ertussen (G-B), soms tot grote frustratie van ons op simpele breuken ingestelde trommelvliezen. Vooral de grote terts tussen G en B doet mij soms pijn aan de oren, als ik de kwarten in het gareel moet houden en de 2 octaven tussen E en e herstel. Nee, die komma’s raak je nooit echt kwijt. Met de piano heb ik minder ervaring, maar na het schrijven van deze reeks ben ik al wat beter beginnen begrijpen waarom pianostemmer een knelpuntberoep is.

Boventonen

We keren nog eens weer naar de akoestiek, meer bepaald naar het bestaan van harmonische boventonen. We zijn namelijk in onze analyse van eenvoudige breuken een beetje streng geweest voor het getal 7, dat in de natuur wel degelijk zijn plaats opeist. Het roept ons bijvoorbeeld tot de orde in de gedaante van een boventoon.

Een trillende snaar, of een andere trilling, veroorzaakt in een akoestische ruimte golven met een golflengte die een geheel deel is van de oorspronkelijke geluidsgolf. De frequentie is dan hetzelfde gehele veelvoud van de originele frequentie, maar de amplitude ligt veel lager. Dergelijke hogere maar stillere geluidsgolven, noemen we “boventonen“.

• De eerste boventoon heeft een halve golflengte en 2/1 als frequentieverhouding. Het is de ons welbekende “octaaf”.
• De tweede boventoon heeft verhouding 3/1. Dit is 3/2* 2/1, wat wij herkennen als de kwint in het hogere octaaf, of de “tweede kwint”.
• De derde boventoon heeft verhouding 4/1 en is het “tweede octaaf”.
• De vierde boventoon, 5/1, is herberekend 5/4 * 4/1 en blijkt de grote terts te zijn in het derde octaaf.
• De vijfde boventoon, 6/1 = 3/2 * 4/1, is de kwint in het derde octaaf. Tot zover geen verrassingen.
• De zesde boventoon, 7/1 = 7/4 * 4/1. Het is een nieuwe noot, die we tot nog toe niet kenden en hij ligt in het derde octaaf.

Wie twijfelt aan het bestaan van boventonen, kan zichzelf trainen in de nobele kunst van het boventoonzingen.

https://www.youtube.com/watch?v=kFWYSW4vfcA

De mollige si

Maar goed, welke is nu die nieuwe noot, met verhouding 7/4? Vormt hij een eigen toongebied of ligt hij in een bestaande? Mits snel hoofdrekenen, zien we dat hij tussen de grote sext 5/3 en de kleine kleine septiem 16/9 ligt. We berekenen de beide afstanden: 7/4 / 5/3 = 21/20 en 16/9 / 7/4 = 64/63. De afstand tot de kleine kleine septiem is duidelijk de kleinste van de twee, maar toch nog altijd groter dan de syntonische komma. Toch besluiten we dat dit een kleine  kleine septiem is, zelfs al is zijn afstand tot de grote kleine septiem 9/5 / 7/4 = 36/35, wat vervaarlijk dicht tegen een chromatische halve secunde aanloopt.

Deze septiem, ook de “harmonische septiem” genoemd, komt voor in de volksmuziek van alle landen, omwille van zijn boventoonkwaliteit. Daarom is er in de klassieke notatie vrij vroeg plaats geruimd voor de kleine septiem, die in de toonsoort van Do de naam “si-mol” draagt. Die naam komt van het feit dat de kleine septiem een zachtere klank heeft dan de grote septiem. De Duitse muziektheoretici noteerden deze variant van de noot si (=b) als een zachte, ronde b: een “b-moll”, tegenover de harde, grote  variant, de “b-dur”, die een vierkante notatie meekreeg. Die notatie werd voortgezet in andere verlaagde noten, zoals a-mol, of dus a-b en a-hersteld. Daarom is het molteken vandaag in muzieknotatie een ronde b en is het herstellingsteken een soort vierkante b. Ik ben niet geheel zeker, maar vermoed dat de nood aan een verhogingsteken pas nadien is opgetreden, en de harde b verder werd “verscherpt” in een kruis: #.

Het is dus allerminst een vervelend toeval, of een domme onzorgvuldigheid van muziektheoretici dat het molteken gelijk is aan de alternatieve notatie voor de si. Wat zit het leven toch vol met pietluttige wetenswaardigheden!

De volledige reeks ziet er zo uit:

1. Muziektheorie – (1) – inleiding
2. Muziektheorie – (2) – simpele verhoudingen
3. Muziektheorie – (3) – komma’s wegneuken
4. Muziektheorie – (4) – gij met uwe Pythagoras altijd
5. Muziektheorie – (5) – heb je al gekeeld van de zeven de zeven (dit artikel)