In deel 3 hebben we het vraagstuk opgelost van de keuze en naamgeving van de toonafstanden in ons Westers toonsysteem. We blijven echter in de natuurlijke stemming met het probleem zitten van de dissonantie die optreedt als we tertsen en kwinten opeenstapelen over verschillende octaven.
De kwintencirkel
Keren we weer naar de kwint, met verhouding 3/2, die de voornaamste toon is naast de octaaf. Twee gestapelde kwinten leveren 9/4, wat hetzelfde is als een grote secunde verhoogd met 1 octaaf: 9/4 = 9/8 * 2/1
Drie gestapelde kwinten geven 27/8 * 2/1 = 27/16. Onze toonladder van twaalf noten herhaalt zich in het volgende octaaf en suggereert dat we dichtbij de grote sext zullen uitkomen. Immers, van de grote secunde (2de noot) naar de grote sext (9de noot), dat zijn 7 noten, en dat is de kwintafstand. En inderdaad: 27/16 / 5/3 = 81/80, de syntonische komma, dus onze kubieke kwint zit in hetzelfde toongebied als de tweede grote sext.
We worden overmoedig door dit succes en stapelen er nog een kwintje bij: 81/32! We moeten alweer een octaaf hoger schakelen, om tussen 1 en 2 te blijven, dus 81/64. Volgens onze telling op de toonladder zitten we nu op de grote terts: 81/64 / 5/4 = 81/80. Dat valt reuze mee: alweer zitten we op een syntonische komma.
De wiskunde schiet ons weer te hulp: 12 en 7 zijn onderling ondeelbaar, dus we kunnen nu al voorspellen dat we 12 keer met onze kwintstapeling kunnen doorgaan tot (3/2)^12 wat zou moeten overeenstemmen met 7 octaven, dus (2/1)^7. Helaas, de natuur is grillig en weerbarstig als een ontembare verleidster: die getallen zijn niet gelijk en schelen een factor 531441/524288.
Dat is geen onoverkomelijk verschil, maar toch groot genoeg om hoorbaar te zijn als flink dissonant. Pythagoras had dit al ontdekt, toen de Grieken nog musiceerden en hun tijd verdeden met wiskundige spelletjes, een laksheid waarvoor zij pas nu de prijs beginnen te betalen. Daarom heet die verhouding de “Pythagoreïsche komma”. De kwintencirkel is in de natuurlijke stemming dus niet mooi rond, maar spiraalt verder omhoog waarbij de kwintstapeling altijd iets hoger is dan de octavenstapeling.
We gaan verder in de kwintencirkel, we noemen hem vriendschappelijk bij die naam, en komen aan bij 243/128 en dat is de grote septiem 15/8, en opnieuw scheelt de stapelingeen syntonische komma. Na 6 stapelingen zijn we halverwege de kwintencirkel aanbeland, bij de vervaarlijke overmatige kwart. De 6de stapeling 729/512 moeten overeenstemmen met de 25/18. De verhouding tussen die twee getallen is 13122/12800. Dit is een flink stuk groter dan het syntonisch komma, namelijk ca. 83/80. In de oude tijden noemden musici en theoretici deze kwintstapeling de “wolfskwint” omdat de dissonant huilt als een wolf.
Stemmingen van Pythagoras tot Bach
Hierna evolueert de dissonantie verder betamelijk via syntonische komma’s naar de Pythagoreïsche komma, maar het kwaad is dan al geschied. Zelfs al wordt de overmatige kwart als afstand op zich reeds des duivels beschouwd en vermeden in de oude klassieke muziek, dan nog moet het totale verschil tussen kwintstapeling en octaafstapeling gespreid worden over de andere tonen. Pythagoras was zich al van dit probleem bewust en bedacht een Pythagoreïsche stemming, die ik hier niet ga behandelen, net zomin als de oplossing van Zarlino of de middentoonstemming – hoewel dit alles cultuurhistorisch en muziektheoretisch zeer interessant is.
Het einde van het verhaal is namelijk dat ene Andreas Werckmeister het grondwerk heeft verricht voor de “gelijkzwevende stemming“, waarin de Pythagoreïsche komma min of meer gelijkmatig over de 12 tonen in ons toonsysteem wordt verdeeld, zodat geen enkele van die toafstanden nog zijn oorspronkelijke natuurlijke verhouding heeft. Die idee heeft lang weerstand ondervonden in een Westerse cultuur die geënt was op de Griekse leer van vormelijke perfectie en de godsdienst die niet toeliet zomaar het recht in eigen handen te nemen om aan de natuur, in casu de akoestiek, te knutselen. De doorbraak kwam er pas toen de vooraanstaande componist Johann Sebastian Bach “Das Wohltemperierte Klavier” publiceerde, een compositie in diverse toonaarden waarvoor het instrument wel moést getemperd worden volgens iets als de gelijkzwevende stemming.
Voornaamste bron: http://members.multimania.nl/mberben/muziekth.pdf
De volledige reeks ziet er zo uit:
- Muziektheorie – (1) – inleiding
- Muziektheorie – (2) – simpele verhoudingen
- Muziektheorie – (3) – komma’s wegneuken
- Muziektheorie – (4) – gij met uwe Pythagoras altijd (dit artikel)
- Muziektheorie – (5) – heb je al gekeeld van de zeven de zeven